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ベクトル

ベクトルとは、線型代数学の根底をなす概念の一つである。

最もおおざっぱな言い方では、ベクトルとは大きさと向きを持ったもので、スカラーに対して使われる言葉であり、平面上や空間内の矢印（有向線分）として幾何学的にイメージされる。例えば、速度や加速度、力はベクトルである。この概念は、座標系を指定して、解析的な表示を与えることにより、自然に数ベクトルの概念へと導かれる。

線型代数学では、矢印のベクトルや数ベクトルはもっと抽象化されて、ベクトルとは単にベクトル空間の元のことになる。つまりベクトルには和とスカラー倍が定義されていることだけが問題とされる。しかし、基底を媒介にして、一般的なベクトルは数ベクトルとして扱うことが出来る： つまり、基底 e₁, e₂, ..., e_n を固定したとき、任意のベクトル v は基底の1次結合として

のように表すことができる。このとき、v を係数を並べたベクトル

と同一視することで、基底の定められたベクトルは数ベクトルとして扱える。

この記事では、主に数ベクトル（空間）について扱い、部分的に一般のベクトル空間への抽象化に言及する。一般の場合についてはベクトル空間も参照せよ。

数ベクトル

数ベクトルは、数（実数や複素数、有理数などから一種類選んで固定する）を並べたものである。

例

数ベクトル a に対して、a₁, a₂, a₃ を数ベクトルの要素または成分 (element) と呼ぶ。要素の数を数ベクトル a の次元 (dimension) もしくは要素数と呼ぶ。次元 n の数ベクトルを n 次元数ベクトルと呼ぶ。上の例では、数ベクトル a は 3 次元数ベクトルである。n 次元数ベクトル全体の集合を n 次元数ベクトル空間という。

• 横に並べた数ベクトルを横ベクトルまたは行ベクトル。縦に並べた数ベクトルを縦ベクトルまたは列ベクトルと呼ぶ。上の例では、a は行ベクトル、b は列ベクトルである。 • 数ベクトルは n*1 もしくは 1*n の行列でもある。 • 数ベクトルの要素が全て 0 の数ベクトルを零ベクトルと呼ぶ。零ベクトルでない数ベクトルを非零ベクトルと呼ぶ。 • 数ベクトルは、しばしばその成分を座標と見ることにより、有向線分（矢印）を用いて幾何学的ベクトルとして表現される。

数ベクトルの和、差

同じ次元の数ベクトルの和（差）を、要素同士の和（差）と定める。

例

の時に、和 a + b と、差 a - b は

となる。

また、a, b がどんなものであっても a + b = b + a が成り立っていることに注意されたい。

数ベクトルのスカラー倍

c を普通の数（スカラー）とする。ベクトルのそれぞれの要素を c 倍することで、スカラー倍が定義できる。

例

ここまでで、数ベクトルには和とスカラー倍が定義されることを述べた。これは一般のベクトル空間についてもそのまま成り立つ。

数ベクトルの内積

同じ次元の数ベクトルの内積を、要素同士の積の総和と定める。 a と b の内積を a · b と表現する。 内積は転置行列を用いると

と行列の積を用いて表現できる。

例

先ほどの例において、a · b は、

内積は一般のベクトル空間についても考えられる。計量ベクトル空間の項目を参照。