ベクトル空間
線形空間とも線型空間ともいう。 ベクトル空間（ベクトルくうかん）とは、和とスカラー倍の定義された集合のことである。これは「平面（あるいは空間）上のベクトルすべてを集めた集合」を一般化、抽象化したものである。ベクトル空間の元のことをベクトルという。
ベクトル空間は線形代数学の主要な対象であり、ベクトル空間とそれに関する手法は数学のあらゆる分野で重要な道具として用いられる。ベクトル自体が元来は速度や加速度、力のように方向を持つ物理量を表すために考案されたものであるので、物理学との関連が深い。量子力学では系のとりうる状態をベクトル空間で表す。
導入
例えば、平面の矢印（有向線分）全体を考えよう。ただし、平行移動して重なるものは同一視することにする。矢印の矢筈を始点、矢じりを終点と呼ぶことにする。二つの矢印 a, b は、矢印 a の終点と矢印 b の始点が重なるように平行移動して、a の始点を始点とし、 b の終点を終点とする新しい矢印を考えることができる。この矢印を a+b と書こう。また、矢印の長さを c 倍することで、矢印 a のスカラー倍 ca を考えることもできる。またこの矢印は、始点をすべて原点に持って来ることで（平行移動して重なるものを含めて）平面上の点と同一視することができる。上の矢印 a, b と対応する点を a, b とし、平面のデカルト座標をとって a = (a1, a2), b = (b1, b2) とすると、上の和とスカラー倍は a+b = (a1+b1, a2+b2)、ca = (ca1, ca2) にそれぞれなる。平面の点にこのような和とスカラー倍を定義したものを2次元数ベクトル空間という。
以下の定義は、これらのことを一般化して述べたものである。
定義
体 K 上のベクトル空間とは、以下の条件を満たす集合 V のことをいう。V の元をベクトルといい（以下太字 （v, w など）で表す、KをVの係数体と呼び、K の元をスカラーという（以下イタリックの小文字 （c, d など）で表す） • V は加法に関してアーベル群をなす • 任意のスカラー c ∈ K、ベクトル v ∈ V に対してスカラー倍 cv ∈ V が定義されて、 • (cd)v = c(dv) (for all v ∈ V and for all c, d ∈ K)。 • 1 を体の乗法に関する単位元とするとき 1v = v (for all v ∈ V)。 • c(v + w) = cv + cw (for all v, w ∈ V and for all c ∈ K)。 • (c + d)v = cv + dv (for all v ∈ V and for all c, d ∈ K)。実数体上のベクトル空間を実ベクトル空間といい、複素数体上のベクトル空間を複素ベクトル空間という。
次元
ベクトル空間 V の部分集合で、互いに一次独立な要素からなる集合を考える。そのような集合の要素数として最大のものを V の次元といい、dim V と書く。 あるいは体 K 上のベクトル空間としての次元であることを明示するために dimK V とあらわすこともある。一次独立な部分集合がすべて高々 n 個の元からなっていて、 n+1 個以上の元を持つものはすべて一次従属であるならば、このとき V は n 次元のベクトル空間である。
任意の自然数 n について n 個の元からなる一次独立な部分集合が存在するとき、 V は無限次元であるという。
基底
ベクトル空間 V の基底とは、次の条件を満たすような V の元（つまりベクトル）の組 S のことである。 • それらは1次独立である。 • 任意のベクトルはそれらの1次結合の形に表される（この条件を満たす集合を生成系という）。この条件は、以下のどれとも同値である。 • S は1次独立な集合のうち包含関係において極大なものである。 • S は最も小さな生成系である。 • V のどのベクトルも、S の1次結合で一意的に表される。
一次独立な集合のうち極大なものを構成してやることにより、有限次元ベクトル空間は必ず基底を持つ。選択公理を仮定すれば、無限次元ベクトル空間も含めて「全てのベクトル空間が基底をもつ」ことを証明できる。
ベクトル空間が与えられたとき、その基底のとり方はいくらでもある。しかし、ある基底をなす元の数（基数）は基底の取り方によらないことが証明される。n 次元ベクトル空間の基底は n 個のベクトルから成る。ベクトル空間の次元を、基底をなす元のの数のことであると定義してもよい。
計量ベクトル空間（内積の定義されているベクトル空間）に対して、基底に含まれるどの二つのベクトルの内積も 0 であるとき、その基底を直交基底という。さらに全ての基底ベクトルのノルムが 1 であれば、その基底の組を正規直交基底という。
や のような数ベクトル空間に対して
行列との関係
V と W をどちらも基底の定められた有限次元のベクトル空間とする。基底をそれぞれ <e1, ..., en>, <f1, ..., fm> とする。このとき、V から W への線型写像 f は、- f(e1) = a11f1 + … + am1fm, ... , f(en) = a1nf1 + … + amnfm
線型写像を合成することが、行列の積に対応していることも分かる。このようにして、基底を与えることで、線型写像を行列として取り扱うことが出来る。
例
• 数ベクトル空間 Rn（または Cn）は n 次元ベクトル空間である。 • 0 もベクトル空間である。0 + 0 = 0, c0 = 0 とすればよい。次元は 0。 • C は R 上の 2 次元ベクトル空間とみなせる。 • R は Q 上の無限次元ベクトル空間である。 • S を集合とし、V をベクトル空間とするとき、S から V への写像全体はベクトル空間になる。 • その特殊な例として、K-ベクトル空間 V から K-ベクトル空間 W への線型写像全体も K-ベクトル空間になる。このベクトル空間を HomK(V,W) と表す。K が明らかであるときは単に Hom(V,W) と書くこともある。
一般化
体上のベクトル空間の概念は、環上の加群に一般化される。
様々なベクトル空間
• 線型部分空間 • 双対ベクトル空間 • 計量ベクトル空間 • ヒルベルト空間 • アフィン空間 • ユークリッド空間
関連項目
• 線形代数学 • 代数的構造 • 量子力学の数学的基礎
