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四元数

数学において、四元数（しげんすう）あるいはクオータニオン (quaternion) とは、以下の条件を満たすような 3 つの虚数単位 i, j, k を持ち、4 つの実数 x, y, z, w を用いて x + yi + zj + wk と表記される数のことである。

四元数は発見者ウィリアム・ローワン・ハミルトン（1843年）の名前にちなんでハミルトン数とも呼ばれる。四元数全体の成す集合は H または と書かれる。

絶対値が 1 であるような四元数を、単位四元数あるいは単位クオータニオンとよぶ。単位クォータニオンを 3 次元空間上の回転と見た場合、四元数の積は回転の合成に相当する。そのため、四元数はコンピューターグラフィックス、人工衛星の姿勢制御などに応用されている。

定義

四元数全体の成す集合 H には、実数全体の成す体 R 上の 1, i, j, k を基底とする 4 次元ベクトル空間としての構造に加えて、次のように積が定義されている： • 積は結合法則を満たし、和に対して分配法則を満たす。 • i, j, k は、それぞれ自乗すると -1 になる：

i ² = j ² = k² = -1 。

• ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j, ijk = jki = kij = -1 。

3 番目の条件から、交換法則が成立しないことがわかる。しかし、0 以外の元は積の逆元をもつ。すなわち、四元数全体の成す集合 H は非可換体（または斜体、可除環）である。H を（ハミルトンの）四元数体と呼ぶ。

四元数 q = x + yi + zj + wk に対して、x を q の実部あるいは実数部分、y, z, w を q の虚部、yi + zj + wk を q の虚数部分と呼ぶ。

四元数 q = x + yi + zj + wk に対して、

と表される四元数 q^- を、四元数 q の（四元数としての）共役あるいは共役四元数であるという。四元数 q のノルム N(q) および絶対値 |q| がそれぞれ、

および、

として定義される。

四元数の模型

四元数体 H は実数体 R 上の 4 次全行列環 M₄(R) あるいは複素数体 C 上の 2 次全行列環 M₂(C) の部分体にモデル（模型）を持つ。すなわち、これらの行列環の部分体に H に同型なものが存在する。

C 上の 2 次行列環における実現は次のようにする。まず α = x + yi ∈ C を、四元数 x + yi + zj + wk で z = w = 0 とおいたものと思うと、加群として H = C + Cj と分解される。この和は加群の直和である。つまり H は C 上の 2 次のベクトル空間になっている。ここで特に H の積構造は j α = α^-j が成り立つということに気をつければあとは分配法則と C における積から決まってしまう。ただし、α^- は α の共役複素数である。

ここまでの準備の下、行列環の部分集合として

を考えればこれが H の模型となることが簡単な計算で確かめられる。あるいは

という対応を考えても良いであろう。

R 上の 4 次行列環における実現としては、部分集合

を考えればよい。この場合、基底の対応は

となる。

一般化

可換環 R 上の階数 4 の自由加群 Q = R + Ri + Rj + Rk に上で定義した四元数と同様に積を定める。具体的には、基底 1, i, j, k の間の積を α, β ∈ R に対し、

i ² = α, j ² = β, k ² = -αβ,

ij = -ji = k, jk = -kj = -βk, ki = -ik = -αj

と定義して、その積を Q 全体に線型に拡張する。

このとき、Q は R 上の多元環になる。Q を R 上の (α, β) 型四元数環とよぶ。R が体ならば R 上の四元数環は体であるか R 上 2 次の全行列環 M₂(R) に同型である。

R が実数体 R であるときの (-1, -1) 型四元数環 Q が最初に定義した四元数体 H である。

関連項目

• 実数 • 複素数 • 複素平面 • 八元数 • 十六元数