八元数
八元数は、四元数を結合法則を満たさず拡大したものである。1843年にジョン・グレイヴズ (John T. Graves) によって発見されたが、彼とは独立に発見したアーサー・ケーリー (Arthur Cayley) が、先に論文として出版した（1845年）。現在では、八元数はケーリー数、ケーリー代数と呼ばれることもある。八元数は実数上の8次元の代数であり、したがって八つの実数の組と考えることもできる。全ての八元数は単位八元数 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 の実数による線型結合であり、乗法の表は次のようになる。
| 1 | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 | |
| 1 | 1 | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 |
| e1 | e1 | -1 | e4 | e7 | -e2 | e6 | -e5 | -e3 |
| e2 | e2 | -e4 | -1 | e5 | e1 | -e3 | e7 | -e6 |
| e3 | e3 | -e7 | -e5 | -1 | e6 | e2 | -e4 | e1 |
| e4 | e4 | e2 | -e1 | -e6 | -1 | e7 | e3 | -e5 |
| e5 | e5 | -e6 | e3 | -e2 | -e7 | -1 | e1 | e4 |
| e6 | e6 | e5 | -e7 | e4 | -e3 | -e1 | -1 | e2 |
| e7 | e7 | e3 | e6 | -e1 | e5 | -e4 | -e2 | -1 |
