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固有値問題

固有値問題(Eigenvalue problem)とは、線型代数学（特にヒルベルト空間論）において、与えられた線形変換（ヒルベルト空間論においては、線型作用素 あるいは線形演算子 とも呼ばれる）の固有値および固有ベクトルを求める問題のことをいう。

固有値・固有ベクトル

線形空間 V 上の線形変換 A に対して、次の方程式

を満たす零でないベクトル とスカラー λ が存在するとき、を（A の）固有ベクトル、λ を（A の）固有値と呼ぶ。

正定値、半正定値

• 固有値が全て正の時、その行列 A は正定値行列(もしくは単に正定値)であるという。 • 固有値が全て非負の時、その行列 A は半正定値行列(もしくは単に半正定値)であるという。

この定義は対角化を用いることにより、二次形式の正定値、半正定値の定義と同値の関係であることが確認できる。

固有値問題の解法

V が有限個の基底を持ち、それによって A が行列として表されていれば、固有値は行列式に関する次の方程式を（対角化手法などを使って）解くことによって求められる。

I は単位行列である。V の次元を n とすると、この式は λ についての n 次代数方程式であり、A はこの方程式の根として一般的には n 個の固有値を持つことがわかる。（参考：代数学の基本定理）

上の式は行列 A が実対称（或いはエルミート）の場合、永年方程式とも言われる。また行列 A が実対称かエルミートなら固有値は必ず実数となる。

n の値が大きければ固有値問題は数値的対角化手法（→ヤコビ法、ハウスホルダー法など）によって解かれることとなる。行列 A が実対称やエルミートでない場合は、これを解くことは一般に難しくなる。

物理学などの分野では固有値のことを、エネルギー固有値、エネルギー準位と呼ぶことがある。

V が関数空間である場合には、固有ベクトルのことを固有関数ともいう。

固有ベクトルと波動関数

系（通常は電子系を扱うことが多い）のハミルトニアンを H とし、これは有限の大きさのエルミート行列で表現されるとする。そして x をベクトルとすると、量子力学におけるシュレーディンガー方程式（時間に依存しないとする）は、

である。これは固有値問題として解くことができ、固有値 ε が求められる。この時、同時に得られる固有ベクトル x は、系の波動関数 ψ に相当する。また、異なる固有値に対応する固有ベクトルは互いに直交している。

本来、行列による表現は無限行、無限列であるが、これは現実に計算することは不可能なので、有限の大きさに切断して計算が実行される。波動関数は適当な基底関数の展開で表現され、求めるべき基底関数の展開係数が固有ベクトルに相当する。展開係数の数も本来無限個必要であるが、有限の数で切断（カットオフ）される。切断は、求めるべき物理量（全エネルギーなど）が精度として十分に収束するところで行う必要がある（解くために必要な数値計算量にも依存する）。