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平方剰余の相互法則

平方剰余（へいほうじょうよ）とは、ある自然数を法としたときの平方数のことであり、平方剰余の相互法則（へいほうじょうよのそうごほうそく）は、ある整数 a が平方剰余であるか否かを見いだす法則である。

定義

a と p とが互いに素であるとき、合同式

が解を持てば、 a を平方剰余といい、そうでないとき平方非剰余という。

(p, a) を a と p の最大公約数とするとき、次の記号

を、ルジャンドル記号と呼ぶ。

相互法則

平方剰余の相互法則は整数 a が奇素数 p を法として平方剰余であるか否かを見いだす法則である。;

p, q を相異なる奇素数とするときに、

が成り立つ。

この法則は、レオンハルト・オイラーによって予想され、カール・フリードリッヒ・ガウスによって証明された（ガウス日誌によれば、1796年4月8日。発表されたのはおそらく1801年の整数論において）。ガウスはこの法則に対して生涯で７つの異なる証明を与えた。その一つの動機は、三次や四次の相互法則を証明することにあった。現在では２００近くもの証明が知られている。しかし、どれもそれほど簡単ではない。

三次や四次の相互法則は、ヤコビ、アイゼンシュタインによって独立に証明された（年号を付けます。1840年代だったと思う）。より高次のまた一般的な代数的整数における一般的な相互法則の証明は（ヒルベルトの第9問題）、高木貞治やエミール・アルティンによってなされた。<--FIX ME!