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媒介変数表示

媒介変数表示（ばいかいへんすうひょうじ）とは、ユークリッド空間 Rⁿ 上の座標系 (x₁,...,x_n) に於いて、高々 n-1 個の助変数 t₁ , ... , t_n-1 を用いて各座標の値を個別に与えることによって、曲線を決定する方法である。つまり、

という表示のことである。ここで、表示に用いられた助変数を特別に媒介変数と呼ぶことがある。

陰関数で定義された曲線を、それと同値な媒介変数表示に直すとき、関数の相互関係を垣間見ることができる。例えば、次のような陰関数

は、広く知られているように円を描く。これを媒介変数表示すれば、

となる。これは、sin²x + cos²x = 1 という相互関係によるものである。媒介変数表示による相互関係から、関数を定義する手法もある。 また、上の表示において t ∈ [0,2π] とすれば十分であるが、このように、媒介変数の範囲を有限区間 [a,b) に限定でき、かつ t=a と t=b の場合の座標が一致するような曲線を閉曲線と呼ぶ。

座標変換

先程、媒介変数表示に用いる助変数の数は高々 n-1 個であったが、それに新たに助変数 k を加えることによって、次のような各座標の定義式を得る。

k を固定すればこれは通常の媒介変数表示と同値で、曲線を描くが、今 k が任意である以上、これは曲線ではなく領域を形成する。即ち、この表示は座標系 (t₁,...,t_n-1,k) から座標系 (x₁,...,x_n) への写像である。この写像は自分自身へ写すが、内部の座標系は換わっていることがわかる。このような写像を座標変換と呼ぶ。もし座標変換によって自分自身全体に移すことが出来なければ、逆変換できないような点も存在することになる。この点を座標系に於ける特異点と呼ぶ。特異点の発見には関数行列式を用いる。

例えば、

を媒介変数表示すれば

となるが、これは極座標系 (k,t) から直交座標系 (x,y) への座標変換である。