日本百科事典

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平方根

負でない実数 a に対して、a = b² となるような b を a の平方根（へいほうこん）という。a = 0 ならば a の平方根は 0 のみである。a が正のとき平方根は正と負の二つ存在し、そのうち正であるほうを

と表す。記号 √ を根号（こんごう）と呼ぶ。そうすると、a の平方根は ±√a と書き表される。便宜的に √0 = 0 とする。

負の数への拡張

a が負の数のときは厄介な問題が生じる。平方根は実数の中には存在せず、複素数まで数の範囲を拡げると、 a の平方根、すなわち a = b² を満たすような b は二つ存在する。このうちのいずれを √a と定めるのが良いのであろうか。答えは然して単純ではないが、以下のように定めよう。

b² = -1 の二つある根のうちどちらでもよい からひとつの解を i （虚数単位と呼ばれる）で表し、 負の数 a に対して

とする。

このように定義すれば、b² = a の根は ±√a と求めることができる（a = -1 のとき だからこう定めることに矛盾はない）。しかしながら、i は b² = -1 の根であればどちらでもよかったこと、どちらを選んでももう一方の根は -i であることを考えれば、負の数 a に対する √a という記号は単独で 方程式 b² = a の根のいずれか一方を一意的に指し示すものではなく 、 i のとり方に依存してようやく一つの数を指し示している、ということが理解されなければならない。

この 「どちらを i として選んでもよい」 という事実と関連して、次の誤った"証明"は興味深いものである;

この証明において成り立たないのは三番目の等号である。つまり、

は一般には成り立たないのである。あるいは、下の複素数への拡張の項を読むと何が間違っているのかがはっきりするかもしれない。

複素数への拡張

a が複素数のときは、次のようにして拡張できる； a の極形式を

とする。このとき、

とすれば、これは一意的である。こうして定義された平方根をとる関数は、負の実軸上を除いては正則である。しかし負の実軸上では連続でさえない。 上に述べたことはこの不連続性と関係がある。偏角について

は定義からいえる。ところが、については、

が成り立つ。しかも偏角は上の範囲のどの値もとりうる。したがって、

ということが起こりうるわけである。これは複素変数関数の逆関数を考えるときに出てくる問題である（いまの場合、f(x) = x²）。単射でない関数の逆関数を考えるためには人為的なことを行って（これは極形式の条件の部分）何とか一価にしなくてはならないが、そのツケが回ってくるわけである。

関連

• べき根