多様体
多様体とは、局所的に ユークリッド空間と "同じ" であるような図形のことである。円や球や多角形、多面体などは（性質は違うが）全て多様体でもある。例えば、球は十分近くで見ると、平面のように見える。これは中世以前に(古代ギリシャを除いて)地球が平面と捉えられていたことを考えれば分かりやすいかもしれない。直観的に全くイメージできないような図形(というより集合といった方がよい)でも、多様体として扱うことで、幾何学的に扱うことができる。もちろん、多様体でないような図形(例えば、ペアノ曲線やフラクタル)も存在する。どちらかというと、多様体であるような図形は、かなり性質のよいものである。
定義
M を位相空間(ハウスドルフ空間)とする。M の任意の点 a に対して、a を含む開集合 U が存在して、U が m 次元ユークリッド空間の開集合 U' と同相であるとき、M を（境界のない）位相多様体という。さらに、a が二つの開集合 U と V とに含まれていて、それぞれユークリッド空間の開集合 U', V' に同相であるとする：
例
• 射影空間: n 次元ベクトル空間の 1 次元部分空間全体を射影空間という。どう見ても少しも図形らしくないが（そもそも図が書けない）、立派な多様体である。
多様体の間の写像
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接ベクトル空間
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歴史
多様体の歴史とは、結局のところ、人類の図形に対する理解の歴史である。ガウスの曲面論。リーマンの『幾何学の基礎に関する仮説について』など。スタブです。
