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双曲線関数

数学、とくに解析幾何学において、双曲線関数（そうきょくせんかんすう）とは、三角関数と類似の関数で、標準形の双曲線を媒介変数表示するときに現れる。具体的には指数関数 e^x を用いて

、

と表される。cosh, sinh をそれぞれ双曲線正弦関数、双曲線余弦関数と呼ぶ。他にも三角関数との類似で双曲線正接・余接関数

、

や、双曲線正割・余割関数

、

なども定義できる。また、例えば cosh を cos hyp や などと表すこともある。

基本性質

• cosh² x - sinh² x = 1

加法定理

三角関数の場合と同様に次の加法定理が成立する。 • sinh(α+β) = sinh α cosh β + cosh α sinh β • cosh(α+β) = cosh α cosh β + sinh α sinh β

グラフ

cosh x のグラフは懸垂線（けんすいせん、カテナリー / catenary）で、偶関数である。sinh x は奇関数である。

微分公式

• •

逆双曲線関数

双曲線関数が指数関数で表せるように、その逆関数である逆双曲線関数は対数関数を用いて表示することができる。等式 x = sinh y や x = cosh y を考えれば、これらは e^y に関する二次方程式であるから解くことができて、次の表示を得る。 • • 逆関数 sinh^-1, cosh^-1 はそれぞれ area sin hyp, area cos hyp （area は「面積」の意）もしくはそれを略して ar sinh, ar cosh と書いたり、逆三角関数のもじりで arc sinh, arc cosh などと書いたりすることがある。

その他

複素変数を持つ三角関数を用いれば、三角関数と双曲線関数は次の関係にある。 • sinh x = -i sin(ix) • cosh x = cos(ix)

(1-x²)^1/2 を含む有理関数の原始関数を求めるために x = sin t などと三角関数を用いた置換積分を考えることがあるのと同様に、(x²+1)^1/2 を含む有理関数の積分に双曲線関数を用いた置換積分を考えることは有用である。特に

という不定積分の公式が成り立つ。

関連項目

• 三角関数 • 媒介変数 • 指数関数

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