半群
半群とは、結合法則を満たす二項演算の定義された集合のことである；詳しくいうと、集合 S について、写像 · : S×S → S が定義されていて、· が- (a·b)·c = a·(b·c)
例
• 正の整数全体は加法に関して半群である。 • モノイド、また群はもちろん半群である。 • ある文字の集合 Σ を決めたときに、その文字から生成される有限な文字列全体の集合は、列をつなげることを演算とみなすことで、半群になる。空文を付け加えれば、これはモノイドになる。この半群を文字 Σ から生成される自由半群という。
関連する概念
上の最後の例のように、半群 S が与えられたとき、S のどの元とも異なる元 e を付け加えて ee = e、任意のS の元 a に対して ea = a と e についての演算を定義すれば、S に e を付加した半群はモノイドになる。半群 A から半群 B への写像 f が A の任意の元 a, b について f(ab) = f(a)f(b) を満たすとき、準同型という。さらに、f が全単射であれば、同型という。
半群 S の部分集合 A が、そのどの二つの元をかけてもまた A に含まれるとき A を部分半群という。AA := ab | a∈A, b∈A という記号を使うと、これは AA が A の部分集合であるというのと同じことである。
同じ記号で、SA が A の部分集合であるとき、A を左イデアルという。AS が A の部分集合ならば、A を右イデアルという。右イデアルでかつ左イデアルでもあるとき、両側イデアルまたは単にイデアルという。イデアルの共通部分はまたイデアルである。したがって、どんな半群も高々一つの極小イデアルしか持たない。空でない有限な半群は全て極小イデアルを持つ。正の整数全体のなす半群は、極小イデアルを持たない例である。可換な半群の極小イデアルは、もしそれが存在すれば、群になる。
半群について、その部分半群をいくつ取ってきても、その共通部分はまた部分半群になる。つまり、部分半群全体は完備束になる。
関連項目
• 代数的構造
