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包絡線

包絡線とは、与えられた直線の族を接線として持つ曲線のことを言う。広義に、“与えられた曲線群と接線を共有する曲線”と定義されることもある。以下、断らずに後者だとして説明を行う。包絡線は、次のようにして求められる。

n 次元ユークリッド空間 Rⁿ 上の陰関数曲線族 F(x₁, ... ,x_n,t) = 0 (∀t) に対する包絡線は、連立方程式

から t を消去して得られる陰関数曲線 φ(x₁, ... ,x_n) = 0 に等しい。

包絡線の例

直線の族 L : y = sint x + cost の包絡線を、実際に上の方法で求めてみる。まず、L ⇔ sint x - y + cost = 0 であるが、ここで、L を t に於いて偏微分すれば、

となるから、包絡線を求めるための連立方程式

を得る。これを次のように解いていく。

(1)⇔:
　sin(t)x + cos(t) = y
　(sin(t)x + cos(t))² = y²
　sin²(t)x² + 2sin(t)cos(t)x + cos²(t) = y² …(1)'
(2)⇔:
　(cos(t)x - sin(t))² = 0²
　cos²(t)x² + 2cos(t)sin(t)x + sin²(t) = 0 …(2)'
(1)'+(2)':
　　sin²(t)x² + 2sin(t)cos(t)x + cos²(t) = y²
　+)cos²(t)x² - 2cos(t)sin(t)x + sin²(t) = 0
　　　　　　x²　　　　　　　　　　 + 　　1　 = y²

これで t が消去できたので、あとは式を変形して x² - y² + 1 = 0。これが直線族 L の包絡線である。この場合、包絡線は双曲線であることがわかる。