対称群
対称群\'（たいしょうぐん）とは、線型代数学の概念で、「ものを並べ替える」という操作を元とする群である。この場合の「ものの並べ替え」を置換（ちかん'）という。
数学の議論の様々なところに「番号を入れ替える」「入れ替えの可能性が何通りあるかを考える」というような局面が現れるので、対称群はそのような議論を補助する道具としても有用である。
定義
集合 X を考える（無限集合でもよい）。 X から X への全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、 写像の合成を積と定義することで、Sym(X) は群になることがわかる。 このとき、Sym(X) を集合 X の置換群または対称群 (symmetric group) という。特に X が有限集合で、X に含まれる元の個数（X の位数）を n とすると、 X と集合 1, 2, ..., n は同一視できる（つまり全単射が存在する）。 このとき、Sym(X) は通常 Sn と書かれ、 n 次対称群と呼ばれる。 Sn の元を 1, 2, ..., n の置換 (permutation) という。
置換は、1, 2, ..., n を入れ替えた順列と自然に同一視できるので、n 次対称群の位数は n! である。
互換と符号
置換のうち、特に 2 つの元のみを入れ替えて他の元は変えないものを互換という。任意の置換は、互換の積として表せる。このとき、表し方は一通りではないが、互換の数が偶数であるか奇数であるか (parity) は表し方に依らずに決まる。偶数個の互換の積として表される置換のことを偶置換 (even permutation) といい、奇数個の互換の積として表される置換のことを奇置換 (odd permutation) という。
置換 σ について、 sgn(σ) を次のように定める。この sgn(σ) のことを σ の符号という。
