定規とコンパスによる作図
定規とコンパスによる作図とは、定規（定木：直線を引くための道具。長さは測ることができない）とコンパス（円を描く道具）だけを有限回使って図形を描く事を指す。数学的には、二次方程式を解く事と同値である。つまり、2次方程式または1次方程式に帰着出来る問題は定規とコンパスのみで作図可能であり、帰着できない問題は作図不可能である。 有名な問題にギリシアの三大作図問題がある。
ギリシアの三大作図問題
• 与えられた円と等しい面積をもつ正方形を作ること（円積問題） • 与えられた立方体の体積の2倍に等しい体積をもつ立方体を作ること（立方体倍積問題） • 与えられた角を三等分すること（角の三等分問題）ギリシア時代からこの3つの問題は長い間数学者を悩ませてきた。 現在では全て定規とコンパスのみでは作図不可能である事が証明されている。
1837年にワンツェルは角の三等分問題と立方体倍積問題は、三次方程式を解かなくてはならない事を示し作図不可能を証明した。
立方体倍積問題は、方程式x3 = (2a)3を解く事と同値である。
これは3次方程式であるから定規とコンパスのみでは作図不可能である。
円積問題は、方程式 x2 = πr2 の解を求める事と同値である。1882年に、リンデマンによりπが超越数であることが証明され、作図が不可能である事が示された。
なお、角の三等分が不可能である事が示されているにもかかわらず、作図可能である事を示そうとする人々がおり、このような人々は角の三等分家(Trisector)と呼ばれている。
