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余弦定理

余弦定理（よげんていり）は平面上の三角形において、ある内角の余弦（コサイン）と3辺の長さの関係を示した定理のひとつ。

3辺の長さを a, b, c とおき、a と b に挟まれた頂点の内角をθとおくと、
c² = a² + b² - 2abcosθ
が常に成り立つというもの。

証明

• θ=90°の場合

cosθ = 0 より、a² + b² - 2abcosθ = a² + b² • 三角形は直角三角形であり、ピタゴラスの定理により、これは c² に等しい。
 

• 0°＜θ＜90°の場合

• 頂点A,B,Cに向かい合う辺の長さをそれぞれ a, b, c とし、頂点Aから辺BCにおろした垂線の足をHとする。 • AHの長さは bsinθ、CHの長さは bcosθ、BHの長さは |a - bcosθ| となる。 • ここで直角三角形△ABHにピタゴラスの定理を適用すると • c² = AH² + BH² • = b²cos²θ + a² - 2abcosθ + b²sin²θ • = a² + b² - 2abcosθ
 

• 90°＜θ＜180°の場合

• 頂点A,B,Cに向かい合う辺の長さをそれぞれ a, b, c とし、頂点Aから辺BCの延長線におろした垂線の足をHとする。 • AHの長さは bsinθ、CH の長さは -bcosθ、BH の長さは a + (-bcosθ) となる。 • ここで直角三角形 △ABH にピタゴラスの定理を適用すると • c² = AH² + BH² • = b²cos²θ + a² - 2abcosθ + b²sin²θ • = a² + b² - 2abcosθ

上記証明にも示されているとおり、θ=90° の場合には余弦定理はピタゴラスの定理そのものである。

関連項目

• 正弦定理