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正弦定理

平面三角法における正弦定理

平面三角法における正弦定理(せいげんていり)は三角形の内角の正弦（サイン）とその対辺の長さの関係を示したものである。正弦法則ともいう。

三角形 ABC において、辺 BC, CA, AB の長さをそれぞれ a, b, c とし、外接円の半径を R とすると、

という関係が成り立つというものである。一辺の長さとその両端の角が分かれば他の二辺の長さが分かるため、三角測量の基礎となっている定理である。

平面三角法における正弦定理の証明

以下証明において角度には弧度法を用いている。なお π = 180°である。

三角形 ABC とその外接円（半径を R とおく）において

0 < ∠ A < π/2 のとき

線分 BD が外接円の直径となるような点 D を外接円上におく。円周角の定理より、

また BD は外接円の直径であることから、

よって、正弦の定義より、

変形すると、

となる。同様にして他の角についても成り立つ。

∠ A が π/2 のとき

BC = a = 2R であり、

であるから、

は成り立つ。

π/2 < ∠ A < π のとき

線分 BD が外接円の直径となるような点 D を外接円上に打つ。 円に内接する四角形の性質から、

つまり、

となる。 BD は外接円の直径だから、BD = 2R。 正弦の定義より、

変形すると

となる。同様にして他の角についても成り立つ。

以上より正弦定理は成り立つ。

球面三角法における正弦定理

球面上の三角形 ABC において、弧 BC, CA, AB の長さを球の半径で割ったものを a, b, c とすると、

が成り立つ。これを球面三角法における正弦定理とよぶ。

関連項目

• 余弦定理