極座標系
極座標系(きょくざひょうけい, Polar coordinates system) とは、n 次元ユークリッド空間 Rn に定義され、1 個の動径 r 及び n-1 個の偏角 θ1,…,θn-1 からなる座標系のことである。S = (0,0,x3,…,xn) を除く直交座標は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、S に関しては関数行列式 が 0 となってしまうから、一意的な極座標表現は不可能である。それは、点 S に於ける偏角が定義できないことからも明らかである。
いろいろな極座標とその拡張
円座標(Circular Polar Coordinates)
2 次元ユークリッド空間 R2 に於ける極座標。1 個の動径 r と 1 個の偏角 θ によってなり、最も単純な極座標である。rθ 平面、極座標平面ともいう。特異点は (r,θ) = (0,θ) 即ち、xy座標での原点 (x,y) = (0,0) である。2 次元実ベクトル空間にも定義できることから、複素数体 C 上にも定義できる。この時、円座標を極形式と呼んだりもする。円座標平面上で偏角を限定しなければ、これはxy平面上で円を描く。
円柱座標(Cylindrical Polar Coordinates)
円座標で (0,0) を除く xy 平面上の全ての点を表現できるから、これに z 軸を加えれば、xyz 空間が表現できる。これを円柱座標と言う。円柱座標空間上 (rθz 空間上ともいう) で、θ,z を限定しなければ、これは xyz 空間上で円柱を描く。 また、円柱座標空間上の特異点は z 軸上の全ての点である。
球座標(Spherical Polar Coordinates)
3 次元ユークリッド空間 R3 に於ける極座標。1 個の動径 r と 2 個の偏角 θ,φ によってなる。rθφ 空間、極座標空間ともいう。特異点は (r,θ,φ) = (0,θ,φ),(r,nπ,φ) 即ち xyz空間に於ける z 軸上の全ての点である。球座標は、円座標から拡張することも出来る。xyz 空間上で、極座標で xy 平面上の点を表現した後、この点を +z 方向に φ だけ回転すれば、この方法で ||P|| = r を満たす xyz 上の点 P が表現できる。従って、これは球座標に等しい。球座標空間上で 2 個の偏角を限定しなければ、xyz 空間上で球を描く。
積分への応用
極座標平面での長方形は、直交座標に於ける扇形の一部となる。特に θ の長さが 2π であれば、直交座標に於いては円の一部となる。r を 0 から +∞ とすれば、この円は直交座標平面全体となる。従って、直交座標平面全体は、極座標平面に於ける長方形、r×θ = [0,∞)×[0,2π) に等しい。以上のことは広義二重積分に於いて有用である。なぜなら上記から、
