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代数学の基本定理

代数学の基本定理とは、「複素数係数の任意の代数方程式

は複素数の中に重複度をこめて n 個の根を持つ」 という定理のことである。1799年、カール・フリードリヒ・ガウスによって初めて証明が与えられたが、この証明には現代の観点では不備がある。ガウスはこの定理に三つの異なる証明を与えた。現在ではさらに多くの証明が知られている。

この定理の主張は主に、「複素数係数の（一次以上の）代数方程式は複素数根を少なくとも一つ持つ」 という事実に集約され、このことを指して代数学の基本定理と呼ぶこともある。なぜならば、この事実から方程式の次数に関して帰納的に 「n 次方程式は n 個の複素数根を持つ」 ということが因数定理を用いて示せるからである。また、この主張は体論の言葉で言い換えれば 「複素数体は代数閉体である」 と述べることもできる。

x² = -1 という方程式の根（二つのうちいづれか一方）を i （虚数単位、他方は必然的に -i）とし、i を実数に付け加た体系を考えるだけで、どんな代数方程式（しかも複素数係数のそれ）もその内に解を持つようになるというのは、実際驚くべき事実である。

もっともよく知られている初等的な証明は、大体次のようにして行われる。

は、x を十分大きくすると、f(x) もいくらでも大きくできる。コンパクト集合上の連続関数が最小値をもつことから、f(x) が最小値をもつことが分かる。その最小値を c として、c が零でないとすると、x を少し変えるだけで、より小さな f(x) が存在することが分かり、c が最小値であることに反する。これで証明が終わる。