二次方程式
二次方程式とは、次数が 2 であるような（おもに Q 上の）代数方程式、即ち、
-
の形に帰着できる方程式のことである。
一般解の導出
以下、この方程式を一般的に解くためのプロセスを紹介する。
まず、簡単のため、方程式の両辺を a で割り、2 次の項の係数を 1 にする。
b' が 0 の場合
1 次の項が無い二次方程式、即ち
-
を解く事を考える。まず、
c' = -1 と置いてみる。この時、
x2 = 1 であるから、
x の値は
1の原始平方根の
冪乗に等しい。1 の原始平方根は -1 であったから、この方程式の解は
x = (-1)
m = 1 , -1 となる。
次に、一般の
c' について考えてみる。移項整理することによって、
x2 = -
c'。さらに、
平方根の定義から直接に、
-
これが、1 次の項が無い二次方程式の解である。
平方完成による解法
一般の
b' に対する2次方程式の解法を考える。当然、このままでは解けないので、式を適当に変形する。
-
-
-
-
-
これは 1 次の項が無い形であるから、その解は、
-
となる。ここから
t を分解して、移項整理することによって、
-
を得る。このように、一般の二次式を
t2 +
k のように 1 次の項が無い形にすることを、
平方完成という。平方完成の技法は、この他にも、
円錐曲線の標準化などに用いられる。
二次方程式の一般解
今まで、2 次の項の係数を 1 として考えてきたが、最後に係数を一般にして、二次方程式の
一般解を与えることにする。
-
こうして二次方程式が一般的に解かれた。
虚数単位の導入
次の二次方程式
-
は、実数の範囲で解を持たない。その解として、実数でない新たな数
i を導入することによって、全ての2次方程式が解を持つようになる。このような数
i を
虚数単位と呼ぶ。
また、実数
x,
y を用いて
x +
i y と書けるような数を\
複素数と呼び、その全体を
C で表すことにすれば、全ての代数方程式が
C 上で解ける。
二次方程式の判別式
一般の代数方程式において判別式は、方程式が
重根を持つか否かを判別するための式であるが、二次方程式においては、方程式が
R 上で解けるか否かまでを判別することが出来る。判別式
D は、通常の導出方法によって、次のように与えられる。
-
D の符号による解の分類は以下の通りである。
- D > 0 の場合：R 上の異なる二根
- D = 0 の場合：R 上の重根
- D < 0 の場合：C 上の異なる二根
また、二次方程式の一般解は、判別式を用いて
-
と書ける。
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