日本百科事典

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三次方程式

三次方程式とは、次数が 3 であるような代数方程式、即ち、

の形に帰着できる方程式のことである。

一般解の導出

以下、この方程式を一般的に解くプロセスを紹介する。方程式の両辺を a₃ ≠ 0 で割ることにより、最高次係数を 1 にすることができ、またそれによって一般性を失うことはないので、以下では常に最高次係数が 1 の物のみを扱う。

1 の原始立方根の導入

まず、一番単純な三次方程式、

を解く事を考える。A₀ = -1 であるとき、解は1 の原始立方根の冪乗に等しい。一般の A₀ に対しては、累乗根の定義から直接に、

を得る。ここで ω は 1 の原始立方根を表す。ω は、二次方程式 t² + t - 1 = 0 の根の任意の一方である。いずれの一方の根を ω として選んでも、ω の共役は他方の根、したがって 1 の原始立方根で あり、ちょうど ω² に等しい。ここでは、

としておく。

二次項のない場合

A₂ = 0 で見かけ上二次の項がない三次方程式、即ち、

を解く事を考える。まず、A₀ = 0 のときには左辺は容易に因数分解できて、x = 0 は根であり、残りの根は x² + A₁ = 0 を解くことで得られる。逆に x = 0 が根であれば代入することにより A₀ = 0 でなければならないことがわかる。

よって以下 A₀ ≠ 0 とし、0 ≠ x = u + v と置いて式を変形すると、

となる。ここで、方程式が成り立つには、最終行の左辺第一項と第二項が同時に 0 になれば良い。従って、もとの三次方程式を解くことは、方程式系

を解く事と同値である。今、U := u³, V := v³ と置けば、

と書ける。この U, V を見つけることは、分解方程式 と呼ばれる次の方程式

を解くことと同値である（根と係数の関係）。即ち、二次項がない三次方程式は、二次方程式に帰着できるのである。そして、これを解けば、

となり、この 2 つの解がそれぞれ U, V となる（順序は逆でも構わない）。

さて、u³ = U, v³ = V であったが、これを三次方程式だと単純に考えれば、

となるが、このままでは、解 x(=u+v) の個数は 9 個になってしまう。代数学の基本定理によれば三次方程式の解は高々 3 個であるはずだから、残りの 6 個は、連立方程式の第 2 行を 3 乗したことによる無縁根だと考えられる。無縁根か否かの判断は、uv = -A₁/3 から行うことができる。即ち、u はそのまま 3 つの解を与えるだとすれば、もう一方の v はこの式より決定することになるのである。従って、

(m = 0, 1, 2) がこの二次項のない三次方程式の根の全てである。U, V を係数 A₁, A₀ で書き戻せば、

という根の公式を得る。

一般の場合

A₂ が 0 でない一般の場合の解法について考える。実は、二次方程式でいう平方完成に似た手法で、三次方程式の二次項は消去することができる。尚、一般に、n 次多項式の n - 1 次項は、t = x + a_n-1 / n と置くことによって消去することができる。

さて、新たな変数 t を t = x + A₂ / 3 として用意して、方程式を t に関するものに変形する。つまり、

に x = t - A₂ / 3 を代入して整理すれば

となる。ここで、表記の都合上

とおくことにする。

そうすると、元の方程式は t³ + pt + q = 0 という二次項がない形の三次方程式に帰着されたわけであり、前述のようにこの t に関する三次方程式は解くことができて、その根は

となる。従って、

である。これで三次方程式が一般に解くことができた。あとは、p , q を A₂, A₁, A₀ の式に書き戻せば、方程式の根がその係数によって書き表され、根の公式を得たことになるわけである。しかし、そうして表した場合、式が非常に煩雑になってしまうので表記の都合上ここまでとする。

一般的解法にまつわる話

上の公式は、カルダノの公式と呼ばれる。そう言われるのは、ジェロラモ・カルダーノが発表した公式であるからだが、実際にこの公式を発見したのはニコロ・フォンタナ（タルタリア）という人物だと言われている。フォンタナはカルダノに、絶対に他言しない約束で三次方程式の一般的解法を教えたが、カルダノはその約束を無視して解法を発表してしまった。フォンタナは自分が発見したことを主張したが、その主張は取り下げられ、現在でも、公的にはカルダノが発見したことになっている。

関連項目

• 代数方程式 • 一次方程式 • 二次方程式 • 四次方程式 • 五次方程式