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代数方程式

代数方程式（だいすうほうていしき）とは体（主に有理数）を係数とする多項式を等号で結んだ等式。すなわち、移項して整理すれば

（各 a_i は変数 x に無関係な定数）のかたちに表される方程式のことである。このとき、左辺の多項式の次数を以ってこの代数方程式の次数とする。すなわち a_n ≠ 0 のとき n 次方程式であるという。

左辺の多項式の係数体を K とすると、その代数方程式は、一般には K の中で解けないが、代数方程式が一つ与えられたとき、その根を含むような K の拡大体 L の存在が示せる。さらに、K の代数閉包が同型の違いを除いて一意的に存在する。代数閉包 K^{^} を一つ固定しておく。K^{^} の元 x が、ある K 係数の代数方程式の根となるとき、x は K 上代数的であるという。

詳しくは体論に譲る。

特に、複素数 z が有理数体 Q 上代数的ならば、z は代数的数であるという。

また、方程式の係数がある環 R の元で最高次の係数が 1 であるならば、その根は R 上で整であるという。

一次方程式 は係数体 K に依らず K のなかで常に解ける。また、標数が 2 でない体上の二次方程式 ax² + bx + c = 0 は素体 F に係数 a, b, c と判別式 D = b² - 4ac の正の平方根を添加した体 F(a, b, c, √D) のなかで解けて、その解は (-b ± √D)/2a で与えられることはよく知られている。

同様に三次方程式 ax³ + bx² + cx + d はカルダノの公式 として知られるように、ω を 1 の虚立方根、D を三次方程式の判別式のこととして、Q(a, b, c, d, ω, √D) から適当な元 ξ₁, ξ₂ を選べば、Q(³√ξ₁, ³√ξ₂, ω) のなかで解くことができる。

関連項目

• 代数的数 • べき根 • 1の原始累乗根

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