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代数的数

代数的数（だいすうてきすう）とは、

a_nxⁿ +...+ a₁x + a₀ = 0（n ≥ 1 で各 a_i は整数であり、a_n は 0 でない）

のような代数方程式の解となる複素数のことをいう。代数的数でない複素数を超越数という。n 次の代数方程式の解であり、それより小さな次数の代数方程式の解にはならないような代数的数を n 次の代数的数という。

また、代数的整数とは、 上式の a_n を 1 とするとき、その解となるような複素数のことである(性質は後述)。

例

• 整数や有理数は代数的数である。 • a, b を有理数とするとき、a + b√(-1) は代数的数である。 • √2 や √3 、もっと一般に n を有理数とするとき、√n は代数的数である。 • a を有理数とするとき、ⁿ√a は代数的数である。 • √2 + √3 なども代数的数である。

性質

代数的数同士を足しても引いても掛けても割っても、やはり代数的数になることが分かる。従って、代数的数は体をなす。さらに、上の方程式の係数を代数的数とするとき、その解も代数的数であることが示せる。このことを代数的数の体は代数的閉体であるという。

上の代数的方程式の a_n を 1 とするとき、その解となるような複素数を代数的整数という。この名称は、n = 1 の時にこの解が整数であることから来ている。代数的整数同士を足しても引いても掛けても代数的整数になることが分かるので、代数的整数全体は環になる。

整数から +, -, *, / とべき根 ⁿ√ を繰り返し使って表される数は代数的数である。しかしこの逆は成り立たない：つまりそのような方法で表せないような代数的数がある。そのような代数的数は 5 次以上であることが分かる。つまり、四次までの代数方程式にはいわゆる解の公式があるが、それより高次の代数方程式には一般的な解の公式はない。これはガロア理論から得られる結果である。