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指数関数

指数関数とは、冪乗における指数を変数として、その定義域を主に実数の全体へ拡張して定義される初等超越関数の一種で、対数関数の逆関数である。

定義

a は非負の実数、xは任意の実数に対し、a を底、x を指数とする指数関数を a^x と書く。 特に指数が自然数（あるいは有理数）であるとき、これは a の冪乗に一致する。冪乗を適当な方法を用いて拡張することにより指数関数を定義することも可能である。指数関数は、次の公理により定まる。 • a^x は、R から (0, ∞) への連続写像である。 • a⁰ = 1。 • a^p+q = a^pa^q

微分

底がネピア数 e である指数関数 e^x の導関数は、e^x 自身となる。e^x を exp x と書いたりもする。任意の指数関数 a^x は自然対数 ln を用いて、exp(ln(a)x) と表現できる。したがって、一般の指数関数 a^x の導関数は (ln a)a^x となる。

exp(x) は、微分方程式 dy/dx = y の特殊解に他ならない。これは逆に、微分方程式 dy/dx = y の y(0) = 1 を満たす初期値問題の解として指数関数を定義することができることをも意味している。

解析学の分野では、指数関数といえば、主に底がネピア数であるもののみを指す。

一般化

複素変数への拡張

exp x の微分性質より、これをマクローリン展開すると、

となることから、定義域を、非負の実数から、複素数全体へと拡張することが出来る。 exp(ix) を、cis x と書き、複素指数関数と呼ぶ。ここで i は虚数単位である。 exp x のマクローリン展開より、

と書けるが、右辺の第 1 項は cos x のマクローリン展開、第 2 項は sin x のマクローリン展開に i を乗じたものに他ならない。即ち、cis x = cos x + isin x。複素指数関数は、三角関数に関する和として表現できるのである。 任意の複素数 z は、z = x+iy (x,y∈R) と表現できるから、

これこそが、指数関数の定義域を複素数全体に拡張したものである。この逆関数として、複素変数の対数関数を定義することもできる。こうして定義される対数関数 ln z は

として定義される複素関数 ln z と一致する。

一般の複素数 α を底とし、複素変数 z を指数とする指数関数は、複素変数の対数関数 ln z に対して、ln α が定義される限りにおいて

とおくことにより定義することができる。これは ln z の多価性により一般には多価関数となる。ただし、e^z については exp(x ln e) のこととは解さず、e^z = exp(z) と理解するのが一般的であるようである。

行列の指数関数

上記のテイラー展開の x に任意の正方行列 X を代入することにより、行列の指数関数 exp X が定義される。

とくに、X が n 次実一般線型群 GL(n, R) のリー環 gl(n, R) すなわち n 次の実正方行列全体を亘るとすれば、この指数関数 exp: gl(n, R) → GL(n, R) はリー環からリー群への指数写像の一つの例を与える。

関連項目

• 冪乗 • 対数