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二次関数

二次関数（にじかんすう）とは、x を独立変数、y を従属変数とし、x に関する二次の多項式をもちいて

と表される関数のことである。

係数 a, b, c が実数値の定数で、x が実数値をとる変数とすると、そのグラフは xy-座標系において放物線を描く。

これは集合と写像の概念を用いて、

実数全体のなす集合 R から R への写像

f: R → R; x → ax² + bx + c

を考えたとき、そのグラフ (x, y) ∈ R² | y = f(x) は R² 内の放物線を描く。

と言っても同じことである。

以下では実数値関数としての二次関数に着目して、解析幾何学でよく知られた事項を記す。

二次関数の形

一般形

従属変数 y が、定義どおりに独立変数 x の冪の線形結合 ax² + bx + c の形で表されるとき、これを二次関数の一般形とよぶ。

標準形

従属変数 y が、形式上 x の一次の項を含まない a(x - p)² + q の形で表されるとき、これを二次関数の標準形という。

このとき、二次関数の描く放物線の軸は x = p であり、頂点の座標は (p, q) となる。

計算すれば自明なことであるが、標準形を展開すれば一般形を得る。逆に一般形を平方完成することにより標準形になおすことが可能である。

二次関数と二次方程式

二次関数 y = f(x) に対し、二次方程式 f(x) = 0 の二つの実数根 α, β を持つ（したがって判別式が非負）ならば、この二次関数は y = a (x - α)(x - β) と表せる（二次関数の因数分解形と呼ぶこともある）。このとき、グラフは二点 (α, 0), (β, 0) を通る。（重根のときは、一点 (α, 0) で接する。）

二次方程式 f(x) = 0 の判別式が負のときは、二次の係数の正負にしたがって、グラフは 常に x 軸の上または下にある。

（スタブ）

関連

• 写像 • グラフ • 多項式 • 二次方程式 • 放物線 • 一次関数

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