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曲率

曲率 (Curvature) とは曲線のカーブのきつさを表す量である。例えば半径 r の円周の曲率は 1/r であり、カーブがきついほど曲率は大きくなる。

定義

曲線上の点 P₀ を基点とし、そこから曲線上のある点 P（位置ベクトル r_P で表されるとする）までの距離を s とする。点 P の位置ベクトル r は、s によって、

と表すことができる。同様にして曲線上の点 Q（点 P₀ からの距離は s + Δs）は、

と表される。以下、特に断らない限り r_P = r とする。ここで、点 P 上の曲線に対する接線方向の単位ベクトル（これを t(s) とする）は、

となる。これが単位ベクトルとなるのは位置ベクトルの微小な変位分 d r において、|d r| = ds だからである。点 Q 上の曲線に対する接線方向の単位ベクトルは、

となる。点 P、点 Q での接線の単位ベクトル t(s), t(s + Δs) のなす角度を θ として、Δs を限りなく小さくしていくと、

となる。ここで χ を曲率、R を曲率半径と言う。曲率の逆数が、曲率半径となっている。 また、Δs → 0 の極限でこれら二つの接線によって決められる平面を、点 P における接触平面と言う。

性質

更に、t を s で微分すると、

が得られる。ここで n が主法線方向の単位ベクトルであり、主法線と接線は直交している。これは d r/ds が単位ベクトルのため、

となり、これを s について微分すると、

となるためである（ベクトル同士の内積がゼロとなるので、当該ベクトル同士は直交している）。

ベクトル t と n の外積、

で得られるベクトル b が陪法線方向の単位ベクトルとなる。陪法線は接触平面に対する法線となっている。

関連項目

• 数学 • 力学 • 物理学