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方程式

数学において、方程式（ほうていしき）とは、未知の数として x などの文字を含む等式のことである。このとき、未知数として与えられた x などの文字は様々に値を変える数である と見なされて変数と呼ばれる。あるいは特定の値を持つわけではない という意味で不定元などともいう。変数である文字には、値を代入することが出来る。特に与えられた等式（方程式）を正しく満たす x の値（x に代入された値）のことを方程式の解という。また、方程式の解となる x を全て求めることを方程式を解くという。

大抵の場合、方程式の解となる変数 x の値は任意ではなく、特定の何らかの値に制限され、あるいは存在しない場合すらありうる。すなわち、しばしば方程式は恒等式に対するものとして理解される。

恒等式（こうとうしき）とは、そこに表れる変数にどんな値を入れても成り立つ等式のことである: 例えば、

などはそうである。冒頭に述べた方程式の定義においては、恒等式の概念は特別の場合として方程式の概念に含まれる。

また、同じ文字は同時に同じ値をとるという約束の下で、変数が一つである必要はない。変数が複数存在する方程式を多元方程式あるいは多変数方程式などという。あるいはさらに、方程式として与えられる等式が一本である必要はない。方程式が一本ではなく複数あるならば、方程式は系をなす とか連立する などといい、その複数本の方程式を一括りにして方程式系もしくは連立方程式などとと呼ぶ。

多変数の方程式は変数の間に成り立つ関係を記述することになるから、往々にして（一般には多変数の）関数（の集合）を定める。

「多変数の方程式や連立方程式を解く」という場合、それは「複数個ある変数の全てについて、方程式を満足する数値を決定する」という意味ではなくて「与えられた方程式系を、命題として同値性を保ちながら、より本数の少なく、より単純な形の方程式系に帰着させる」ということを意味する場合が往々にしてある。しかしながらこれは、既に与えた「方程式を解く」という言葉の意味と矛盾するわけではない。なぜならば、いくつかの文字を任意定数として持つような "値" が解であったということと理解されるからである。

論理学からの定義

文字 x を含む論理式 P(x) に対し、x に値の代入を行ったとき P(x) が命題になるならば、論理式 P(x) は変項 x に関する命題関数であるという。

命題関数 P(x) が等式で与えられているとき、その命題関数 P(x) のことを方程式と呼び、変項 x を変数、P(x) が真となる代入 x を方程式の解と呼ぶ。

(↑ Fix me !)

注意

P(x) が x を変項とする命題関数であるといっても、論理式 P(x) が必ずしも実際に文字 x を含む必要は無い。たとえば

x に関する方程式 1 = 0。

などと言ったとき、等式 1 = 0 にはまったく x は現れていないが、これが変数 x に関する命題であると宣言することによって、これは変数 x に関する方程式と見なされると考えることが可能である。そのように見なせば、等式 1 = 0 解を持たない方程式になる。

このような注意は無為なものと思われがちだろう。しかし、既知の任意定数として 文字を含むような等式で定義される x を変数とする方程式、たとえば既知の任意定数 a, b, c を含み x を変数とする方程式

ax² + bx + c = 0

を解くこと、あるいはこの方程式の解の個数の判別を行うことを想定してみて欲しい。これは a ≠ 0 のときは二次方程式、a = 0 かつ b ≠ 0 のときは一次方程式として、それぞれよく知られた仕方で解かれる。では、a = b = 0 のときはどうなのか？等式 c = 0 は x の方程式なのかどうか。

この場合に対する、対処の仕方は少なくとも二つ存在する。それは、

;# a = b = 0 のときは c = 0 となり、x は式に現れないから、これは x に関する方程式ではないとする。 ;# x の方程式 c = 0 という言明には、変数 x のとりうる値を制限あるいは規定する条件式であることの表明として意味があるから、これは方程式であるとする。

である。もう少し説明を加えると、前者は x を変数とする方程式 ax² + bx + c = 0 という言明において、暗黙に ab ≠ 0 が仮定される、あるいは方程式という言明があることによって、それが ab ≠ 0 を包含しているとする立場に立っているのである。

これに対して後者は、この注の冒頭で述べた見方に立つものであり、c = 0 は x に無関係に常に真であるかあるいは常に偽であるから、x は任意の値で解となるか、あるいは解を持たないかのいづれかであって、何も問題を生じてはいないとする立場にたっているわけである。

いづれの立場も論理的には何の矛盾も含んでいないから、自分がいづれの立場にたって論じているのかを明確にする限りにおいては、いづれの立場においても正当な議論が形成される。

方程式の種類

与えられた等式がどのようなものであるかということによって、方程式に特定の名前がついていることも多い。たとえば、

代数方程式

（多項式）= 0 の形に表すことができる方程式を代数方程式という。多項式の次数 n により n 次方程式などのように呼ばれる。なお、高次方程式というと、日本の中等数学では三次以上、一般には主に五次以上の代数方程式全般を指す。

• 一次方程式 • 二次方程式 • 三次方程式 • 四次方程式 • 五次方程式

関数方程式

数の等式ではなく関数の等式で与えられる方程式を関数方程式とよぶ。

• 微分方程式 • 常微分方程式 • 偏微分方程式 • 差分方程式

線型方程式

上にあげた分類とは多少毛色が異なるが、方程式の形のみならず「重ね合わせの原理が働く」か否かという、解の状態についての分類が考えられる。 • 線形方程式 • 非線形方程式

解の分類

方程式の解は、その性質によって、しばしば一般解・基本解・特殊解・特異解に分類される。以下、それについて挙げるが、例として次のような方程式を考えることにする。

一般解

方程式の解の全てを表現したもの。方程式を“解く”ということは、最終的に一般解を求めることになる。解が無数に存在する場合は、しばしば任意の数である解定数 C_n が用いられる。例えば、(1) の一般解は (x₁ , x₂) = (C , -C)、(2) の一般解は C₁sin(x+C₂) または C₁sin x + C₂cos x となる。

基本解

一般解が、解定数を用いた一次結合で表現されるとき、その基底となるもの。これを求めることは、弱い意味で方程式を解くことになるので、方程式によっては、解を基本解のみで表現してよいものもある。(1) の基本解は (1, -1) で、(2) の基本解は sin x , cos x である。sin(x + C₂) ではないことに注意されたい。

特殊解

方程式を満たすような解の総称。ある t を適当に取り出して、その t が方程式を満たすようであれば、それを特殊解といったりする。特殊解は、方程式を一般に解く上では大して重要ではない。また、一般解の解定数に任意の値を代入したものも、明らかに特殊解である。(0, 0) , (3, -3) などは (1) の特殊解で、cos x, e^ix(= cos x + i sin x) などは (2) の特殊解である。

特異解

方程式の解のうち、そのスカラー倍が解となりえないような解。主に微分方程式に対して用いられる用語である。(1) , (2) は特異解を持たないが、有名な例としては、クレローの微分方程式 y = x · dy/dx - (dy/dx)² は、解 Cx - C² の他に特異解 x²/4 を持つ。ここで、y = Cx - C² は、y = x²/4 の包絡線に他ならない。

人名のついている方程式

物理の分野などでは重要な方程式が数多く存在する。それらの方程式には発見者の名前や固有の名称などがそれぞれ与えられている。 • シュレーディンガー方程式 • ディラック方程式 • アインシュタイン方程式 • マクスウェルの方程式 • ブラック-ショールズ方程式 • ハートリー-フォック方程式

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