位相幾何学

位相幾何学は「やわらかい幾何学」として知られる、比較的新しい幾何学の分野である。位相幾何学では、例えばドーナツ（円環）と取っ手のついたコップは同一視される。これはドーナツを「連続的に」変形して取っ手のついたコップにすることができ、その逆もできるからである。ここで、「連続」という言葉を強調することには意味がある。この概念はまさしく位相幾何学の存在理由となる概念であるからである。

ユークリッド幾何学が紀元前にはできていたことと比較すると、オイラーやガウスに始まる位相幾何学は高々250年の歴史であり、大きな差がある。オイラーは、いわゆるオイラーの多面体定理において球面に連続的に変形できるような多面体の辺・頂点・面の数の間にある関係が成り立つことを見い出したが、これをもって位相幾何学の濫觴とするのが一般的である。

多面体を扱っていた古典的な位相幾何学は図形的でとっつき易いが、20世紀にはいってホモトピー、（コ）ホモロジー、ファイバー束、スペクトル系列と怒涛のごとく新しい概念が導入されて、数学の最先端の一部を成している。位相幾何学の基本的な考え方として、連続写像によって変わらないような性質を見い出すことがある。例えば、冒頭のコップとドーナツの例では、どちらも一つのつながった図形（連結性）であり、また穴が一つだけ空いている。このような性質は位相不変量と呼ばれる。視点を逆にして、同じ位相不変量をもつ図形が互いに連続的に移りあうか、という問題を考えることもできる。ポアンカレ予想はそのような問題である。

位相幾何学は大きく二つに分類できる。一つは代数的位相幾何学であり、もう一つは微分位相幾何学である。
以下スタブ。どこかに位相空間の説明を含めないといけない。