数論
数論とは数、特に整数の性質について研究する数学の一分野である。整数論とも言う。ふつうは代数学の一分野とみなされることが多い。ここでは、説明のため便宜的に次の三つに分けよう。• 解析的整数論では、微積分や複素関数論等の解析的手法を用いて問題に取り組む。素数定理の証明はこの分野の一里塚である。保型関数、ゼータ関数を研究するのもこの分野であって、リーマン予想はこの分野の代表的未解決問題である。超越数論とも関係が深い。 • 代数的整数論では、扱われる対象は整数と言うよりも代数的整数である。従って、代数的な整数論と読むよりも代数的整数の論と読む方が正しいと考えられる。カール・フリードリヒ・ガウスがおそらくこの分野の創始者である。体論はこの分野の基礎的根幹であって、ガロア理論は（他の数学においてもそうだが）基本的な道具である。類体論もこの分野の成果である。 • 数論幾何学は新しい分野であり、現代的には、アレクサンドル・グロタンディークの構想に基づくとされる（のかな？）。代数幾何学の手法や結果を利用して、問題に取り組む。フェルマーの最終定理もこの分野の手法を利用して解かれた。現在（日本でも）非常に活発に研究されている。
数論のいくつかの問題は、他の数学の分野に比して問題そのものを理解するのは簡単である。しかし、上記のどの分野においても、使われる手法は非常に高度であることが多い。
ガウスは次のような言葉を残している。 • 「数学は科学の女王であり、数論は数学の女王である」
