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環論

環論は環について研究する代数学の一分野である。形式的に、可換環論と非可換論に分けることができる。代数幾何学や整数論とは直接の関係があるが、その他数学のほとんどの分野で広く応用されている。

この記事では、環, 単位的環(ユニタリー環), 可換環と非可換環, 零元, 整域, 部分環, 剰余環, 環の凖同型・同型, 単項イデアル環・単項イデアル整域, ユークリッド整域, 単元(可逆元), 単元群（単数群）, 既約元について順次説明している。

定義

環とは、二つの二項演算（加法と乗法と呼ぼう）によって定まる代数的構造を備えた集合であって、整数のような性質を持つものである。詳しくいうと、次のようになる。

環 R とは、加法 (+) についてアーベル群であり、更に乗法 (*) に関して任意の R の元 a, b, c が次の性質を持つものである。

（結合法則）a * (\b * c) = (a * b) * c

（左分配法則）a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

（右分配法則） (a + b) * c = (a * c) + (b * c)

更に R が乗法の単位元 1 を持つとき: すなわち R の任意の元 a に対して、

a * 1 = 1 * a = a

を 1 が満たすとき、 R は単位的環（ユニタリー環）と呼ばれる。
単位的環に限って環と呼ぶ流儀もある。

R が乗法について可換であるとき: すなわち R の任意の元 a,bが

a * b = b * a

をみたすとき、 R を可換環という。環というとき可換環のみを指している本もある。
可換でない環を非可換環という。

演算の記号 * は普通省略されて、a * b は、ab と書かれる。

例

• 環論の歴史的な動機付けとなった例は整数全体のなす環である。 • 有理数、実数、複素数はそれぞれ環をなす。実際、それらは体でもある。 • n を正の整数とするとき、 n を法とする整数の集合 Z/nZ は環である（この記法については、以下の剰余環を参照）。 • 閉区間 [a,b] で定義されるすべての実数値連続関数のなす集合は環（さらに結合代数 (associative algebra)）をなす。演算は関数の値ごとに加法と乗法で入れる。すなわち、関数f(x)およびg(x)の和と積は、次のような値をとる関数として定義される。

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

(fg)(x) = f(x) g(x)

• 係数をある環に持つ一変数の多項式全体の集合は環をなす。 • n 次の正方行列全体の集合は環をなす。 • G がアーベル群（可換群）であるとき、 G の自己準同型は環をなす。加法は値ごとに足して入れ、乗法は準同型の合成によって入れる。 • S を集合とするとき、 S のベキ集合は次のようにして環になる (A, B ⊂ S)： • A + B = (A ∪ B) - (A ∩ B) • A * B = A ∩ B

これはブール環??の例である。

定義からすぐに出る結果

a0 = 0a = 0 である。なぜなら、0 = a0 - a0 = a(0 + 0) - a0 = a0 + (a0 - a0) = a0 + 0 = a0 であるからである。0a = 0 も同様。
単位元的環について、1 = 0 とすると任意の元は 0 に等しい。なぜなら、a = a1 = a0 = 0 であるからである。従って、単位的環を扱うときは 1 と 0 が等しくないことを仮定するのが普通である。
-a = (-1)a, (-a)(-b) = ab なども整数と同じように成り立つ。

環に関する概念

以下、環は乗法の単位元 1 を持つとする。
a がある b に対して ab = 0 となるとき a を左零元という。右零元も同様にして定義される。0 以外に零元が存在しないとき、この環を整域という。

環 R のある部分集合 S が単位元 1 を含み、加法について部分群で、さらに乗法についても閉じているとき、S を部分環という。

R の部分集合 I が加法について閉じていて、RI := ri | r ∈ R, i ∈ I , IR がともに I の部分集合になるとき、I をイデアルという。x - y∈I で R に同値関係を定義する。同値類の間に自然に演算を定義できて、環になることが分かる。この環を R の I による剰余環といい、R/I と書く。環 R₁ から環 R₂ への準同型 f とは、 • f(a + b) = f(a) + f(b) • f(ab) = f(a)f(b) • f(1) = 1' が成り立つような写像のことである。ここで、1 は R₁ の単位元、 1' はR₂ の単位元をそれぞれ表す。f が全単射であるとき、同型（写像）と呼び、R₁ と R₂ は同型であるという。準同型の核はイデアルになることが分かる。さらに、次の準同型定理が成り立つ；

R₁/Ker f と Im f は同型である。

イデアルがただ一つの元から生成されるとき、このイデアルを単項イデアルという。全てのイデアルが単項イデアルであるとき、この環を単項イデアル環という。さらに整域であれば、単項イデアル整域という。整数は単項イデアル整域である。

整域 R について、任意の元　x, y について大きさ（正確には整列集合への写像）が決まっていて、x が零でないとき • x > 0 が成り立つ • y = qx + r で、しかも、r < x となるような R の元 q, r が存在する の双方が成り立つならば、R をユークリッド整域という。これは整数における剰余法則を言い換えたものであり、絶対値を用いて大きさを決めれば整数はユークリッド整域になる。上の2つの条件は、ユークリッドの互除法を適用できるための必要十分条件である。ユークリッド整域は単項イデアル整域である。

a が逆元を持つとき、すなわち aa^-1 = a^-1a = 1 となるような a^-1 が存在するとき、a を単元(可逆元)という。 環の単元の全体はの乗法について群をなす。これをの単元群と呼び、またはのように書かれる。 が体である場合にはである。

零でない c に対して、ab = c が成り立つならば a または b のどちらかが必ず単元になるとき、c を既約元という。

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