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無限遠点

無限遠点とは、ユークリッド平面上の互いに平行な 2 直線の交点のことである。厳密にはこの交点はユークリッド平面の中には存在しないから、無限遠点はユークリッド平面の外に存在する。 無限遠点の全体は無限遠直線を描く。

厳密な定義

まず、実平面（ユークリッド平面）上の点の斉次座標を定義する。三つの実数の組 [x : y : z] で表し、 [x' : y' : z' ] = [λx : λy : λz] (λ ∈ R) となるような組 [x' : y' : z' ] は全て [x : y : z] と同じものであると見なそう。

このとき、三つ組 [x : y : z] はその比 x : y : z = x/z : y/z : 1 によって決まるから、平面上の点 (a, b) と三つ組 [a : b : 1] を一対一に対応付けることができる。これを平面上の点の斉次座標とよぶ。 これはつまり、三次元空間における直線を別の平面の点と見ていると考えることもできる。

P²(R) = [x : y : z] | x, y, z ∈ R

と書いて、実射影平面と呼ぶ。すると、上で述べたことは 実平面 R² は実射影平面 P²(R) に埋め込めるということに他ならない。このとき、P²(R) における R² の補空間

l_∞ := P²(R) \\ R² = [x : y : z] ∈ P²(R) | z = 0

の点のことを無限遠点と呼ぶ。特に

l_∞ = [t : 1 : 0] ∈ P²(R)

と書けるから、無限遠点の全体は直線になる。この l_∞ を無限遠直線と呼ぶ。

互いに平行な直線の交点

たがいに平行な二つの平面直線 ax + by + c = 0 と ax + by + d = 0 は c = d で完全に一致しなければ実平面上で交点を持たない。ところが実射影平面において交わることが以下のように示される。

実平面 R²（xy-平面）における直線 ax + by + c = 0 は平面上の点 (x, y) に対し、その斉次座標 [x₀ : y₀ : z₀] (x = x₀/z₀, y = y₀/z₀) を考えることにより

ax₀ + by₀ + cz₀ = 0

と斉次化される。

すると、先の平行な二つの直線を斉次化して ax + by + cz = 0, ax + by + dz = 0 と表すと、連立させて解いて [b, a, 0] = [b/a, 1, 0] という交点を見つけることができる。

一般化

一般に、n 次元のユークリッド空間あるいはもっと別の位相空間に対し、その空間とは別に空間の外にある点を加えて空間を拡張し、もとの空間が持っていた位相を拡張された空間にまで拡張できるならば、付け加えた点のことを無限遠点と呼ぶ。

無限遠点を持つ空間

例えば、実平面 R² あるいは複素直線（複素数平面）C に一点 ∞ を加えた空間を（2 次元の）球面と同相にすることができる。この球面はリーマン球面と呼ばれ、P(R²) あるいは P(C) と書かれる。（次数を明示して P¹(R²) あるいは P¹(C) と書かれることもある。） 主に P(R²) の話になるが、これはリーマン幾何学の一つのモデルを与える。この球面上の直線とは、R² の直線の両端を無限遠点で結んで得られる大円（球の中心を通る平面と球面との交線）であり、任意の二つの直線が無限遠点で交わる。実射影平面の無限遠直線を一点に縮めたものと見ても良い。（↑ fix me.）

他には、実数直線 R に ±∞ を加えた拡張実数直線 。n 次元実射影空間 Pⁿ(R) への拡張、P(R) や P(Rⁿ) などの n 次元実球面に同相な射影的空間、あるいは底空間を実数直線 R から複素数平面 C に取り替えて複素射影平面 P²(C) あるいは一般に n 次元複素射影空間 Pⁿ(C)、あるいはもっと一般に体 K 上の射影空間 Pⁿ(K) など。

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