日本百科事典

home | メインページ

順列

数学において、順列（じゅんれつ）とは、ある集合の要素を選び出して、順番に意味を持たせて並べるときの、その並びのことである。 特に、取り出す要素に重複を許す順列を重複順列（ちょうふくじゅんれつ / じゅうふくじゅんれつ）という。

たとえば、(1)、(1,3)、(1,3,2,3) などはそれぞれ （1,2,3 の要素からなる）順列であり、この中では (1,3,2,3) が重複順列である。

順列の総数

要素の選び方に一定の規則をあたえるとき、その順列の総数を数えるのは一般には難しい。いくつかの場合にはその総数を求める方法が与えられており、またその総数に特別の記号を与えてやることで他の場合に応用することができる。

重複のない場合

n 個の異なった要素の中から m 個の相異なる要素を選び出した順列の個数（総数）は_nP_m と表され、

と計算できる。ただし、記号 ! は階乗を意味する。

たとえば、math のなかから重複なしに二つの文字を取り出して得られる順列は

(m, a)、(m, t)、(m, h)、(a, m)、(a, t)、(a, h)、(t, m)、(t, a)、(t, h)、(h, m)、(h, a)、(h, t)

の 12 = 4!/(4-2)! 個である。

重複を許す場合

n 個の異なった要素から重複を許して m 個の要素を選び出した重複順列の総数は _nΠ_m で表され、n^m で計算できる。

また、選び出す要素ごとにその選び出す個数（重複度）を指定した重複順列の総数も計算できる。 例えば、1, 2, ..., p から n 個の要素を、 k が n_k 個 (1 ≤ k ≤ p) であるように取り出して得られる重複順列の総数は

である。

関連

• 組合せ • 二項定理

この記事はスタブ（書きかけ）です。この記事を加筆して下さる協力者を求めています。