集合論
集合論 (しゅうごうろん) とは、集合に関して研究する数学の一分野である。集合論は大きく二つに分けることができる。一つは素朴集合論であり、もう一つは公理的集合論である。前者では、集合はもののあつまり等というように、曖昧に"定義"される。通常出てくるような集合を扱っているうちは、これでも全く問題は起きない。しかしながら、極めて大きなものや特殊な形で定義される集合を考えだすと（例えば、全ての集合を含むような集合、自分自身を含まないような集合など）、矛盾が起きることが知られている（これについては下記の「集合論の矛盾」の項を参照）。これに対して、公理的集合論では、どのような条件を課せば矛盾が起こらず、なおかつ既存の数学の結果が全て導かれるのかを探究する立場を取る。
集合論の歴史
集合論は、ゲオルグ・カントールによって創始された。彼はフーリエ級数の一意性の研究から、次第に関数の不連続点の数を数える方向に進んでいき、やがて有理数や代数的数が可算であるという結果を得て、それをリヒャルト・デーデキントとの書簡の中でつたえている。そこでは実数についてもこれが成り立つかという問題に取り組んでいること、どうやらそうではないらしいことが述べられている。そこからわずか数週間で、彼は実数が可算でないということについての証明を得る。その後、彼は数直線 R と平面 R2の間に全単射があるかという問題に取り組み、おそらくないだろうと見込みを付けてそれを証明しようと3年にわたって研究を続ける。しかし、彼が得た結果は全単射が存在するというものであった。彼はその証明を伝えたデーデキントへの（ドイツ語の）書簡の中で、有名な"Je le vois, mais je ne le crois pas"「私は見る、しかし信じられない」という（フランス語の）言葉を書き残している。この後彼は理論を発展させ、基数、順序数、整列集合等の概念を得ていった。スタブです。集合論の矛盾
• カントールのパラドックス 全ての集合を考えると、そのべき集合はカントールの定理によってより大きな基数を持つはずだが、一方もとの集合に含まれるのだから、基数は小さいはずである。 • ブラリ・フォルティーのパラドックス 全ての順序数からなる集合 O はそれ自体順序数であり、O∈O から O < O となって矛盾 • ラッセルのパラドックス X=x|x∉x という集合を考える。X∈X でも X∉X でも矛盾を生じる。 • リシャールのパラドックス
