連続
関数の連続
数学における連続のイメージとして最も捉えやすいのは一変数関数の連続性であろう。 一変数関数 f(x) がある点 x0 で連続であるとは、 直感的に言えば y = f(x) のグラフがその点で途切れることなく「つながっている」ことである。下記にその例を示す。
微分積分学においては、イプシロン-デルタ論法を用いてしばしば次のように定義される。
また、関数 f(x) がある区間 I で連続であるとは、I に属するそれぞれの点に於いて連続であることを言う。
f(x) が多変数であっても、またベクトル値関数であっても、基本的には上の絶対値の記号をノルム（長さ）に変更すれば同じようにして連続が定義できる。
不連続関数の例
• ガウス記号 [x] によって実数から実数への関数 f(x) = [x] を定義しよう。この関数は、各整数の点において不連続である。この場合、関数のグラフにはギャップができる。ギャップのあるような不連続点を第一種不連続点という。これは正確には、a + 0, a - 0 の両側に極限が存在するが、両者の極限が等しくならないようなものである。これは不連続点の中では最も連続に近いものである。導関数は連続とは限らないが、第一種不連続点が現われることはない。 • sin(1/x) は x = 0 の時の値をどのように定めてもこの点で不連続になる。これは第一種不連続点ではない。 • x が有理数なら 0, 無理数なら 1 を値とするような関数 d(x) をディリクレの関数と呼ぶ。これは R 上の全ての点で不連続である。単純だが極端な不連続関数の例として積分論などの議論で重宝される。
位相空間の間の連続写像
もっと一般に、f(x) を位相空間 X から位相空間 Y への写像であるとしよう。ある Y の点 f(x0) の任意の近傍の f(x) による逆像がまた x0 の近傍であるとき、f(x) は x0 において連続であるという。f(x) が X 全体で連続であるということは、単にY の任意の開集合の逆像がまた X の開集合であるのと同じである。実数や複素数（あるいはその列）に対して、絶対値（あるいはノルム）を距離関数として適当に位相を導入すれば、前述の「関数の連続性」 は「位相空間の間の写像の連続性」の一例となっている。
