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自然数

自然数とは 0,1,2,3,....とどこまでも続く数のことをいう。英語で Natural Number と呼ばれているものの訳語である（しかしどの言語から訳されたのかは未詳<--fix me）。

上記から 0 を除いた、1,2,3,...を自然数とする流儀もある。 集合論、論理学、計算機科学などの分野では 0 も自然数のうちに含めていて、数論などの分野では 0 は自然数には含めていないとの見方もある。どちらの流儀をとるにしろ、通常は著作あるいは論文毎に定義や注釈で明示されるので、大きな混乱は生じない。とくに混乱を避けたい場合には 0 から始まる自然数を指すために非負整数という用語を用いることもよくある。 ただし、日本の高等学校までの教育においては、自然数は 1 からはじまる、と指導される。 この百科事典では自然数は 0 から始まるものとして取り扱う。 （議論の余地はあり。反論はノートへ）

自然数がどんなものかは子供でも簡単に理解できるが、その定義は簡単ではない。自然数を初めに厳密に定義しようとしたのはペアノの公理によるものである(1889年、ジュゼッペ・ペアノ)。それによると以下のようになる。 • 自然数 0 が存在する。 • 任意の自然数 a にはその後者 suc(a) が存在する。（suc(a)は a+1 の"意味"である） • 0 はいかなる自然数の後者でもない（ 0 より前の自然数は存在しない）。 • 異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b)となる。 • 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。 最後の公理は、数学的帰納法を正当化するものである。

集合論における自然数の定義では、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、と定義される；つまり 0 = 、1 = 0 =

、2 = 0, 1 = , 、3 = 0, 1, 2 = , , , ・・・となる。通常自然数と呼ばれているものはこの集合をさしている。自然数の集合は普通 N または と表される。
自然数の集合は可算無限集合である。

更に進んで、加法、乗法、順序を定義していくことができる。"以下に具体的に書く"

特殊な自然数

素数

自分自身と 1 以外の約数を持たない1より大きな自然数。無限に存在する。 次の数などがある。

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

cf. メルセンヌ数, フェルマー数

双子素数

差が 2 であるような素数の組のこと。 例えば 3 と 5、41 と 43 などは双子素数である。

双子素数は無限にあるか、という問題は現在未解決（双子素数の予想）。

完全数

自分自身を除く約数の和が自分自身と等しくなってしまう自然数。 次の数などがある。

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128,...

奇数の完全数はないという予想がある。偶数の完全数は、メルセンヌ数と深い関係がある。

関連項目

• 整数 • 数論 • 偶数と奇数 • 0 から 10 までの自然数：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 • 11から20までの自然数: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 • 21から30までの自然数: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 • 31から40までの自然数: 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40 • 41から50までの自然数: 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50 • 51から60までの自然数: 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60 • 61から70までの自然数: 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70 • 71から80までの自然数: 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80 • 81から90までの自然数: 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90 • 91から100までの自然数: 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100